NÁVRHY   REGULÁTOROV

Regulátor je aktívny člen regulačného obvodu, ktorého úlohou je generovať akčnú veličinu spracovaním regulačnej odchýlky. Pri návrhu regulátorov sa väčšinou vykonáva určitá postupnosť krokov, ktorou je možné dosiahnuť uspokojivé správanie sa riadeného systému.

Všeobecný postup pre všetky možné prípady riešenia bude nasledovný:

  1. Skúmanie vlastností riadeného systému a získanie počiatočnej informácie o účele riadenia.
  2. Modelovanie procesu.
  3. Určenie vlastností modelu procesu.
  4. Výber riadiacich a riadených veličín.
  5. Výber štruktúry regulačného obvodu.
  6. Výber typu regulátora.
  7. Určenie kritérií kvality regulácie založených na účeloch riadenia.
  8. Návrh regulátora.
  9. Analýza vlastností regulátora, kontrola splnenia kritéria kvality regulácie, prípadne zmena regulátora.
  10. Simulácia uzavretého regulačného obvodu, v prípade nevyhovujúceho riešenia treba postup opakovať od bodu 2.
  11. Výber hardvéru a softvéru pre implementáciu regulátora.
  12. Testovanie regulátora a jeho on-line nastavenie.


PID   regulátor

Najčastejšie používaným typom regulátora je proporcionálno-integračno-derivačný (PID) regulátor.

Jeho pouziteľnosť zvyšujú najmä jeho výhody ako jednoduchosť, robustnosť a zároveň, že je realizovateľný v rozličných prevedeniach, v súčasnosti je používaný hlavne v digitálnej podobe.

Princíp PID regulátora je v spracovaní vstupnej veličiny, ktorou je regulačná odchýlka.


Zásady výberu regulátora



Vplyv parametrov regulátora na rýchlosť regulácie a stabilitu URO



PRENOSY PID REGULÁTORA

Prenos PID regulátora, ktorý je zložený z 3 zložiek: proporcionáknej, integračnej aderivačnej, môže mať rôznu štruktúru.

Najčastejšie využívané štruktúry PID regulátora sú nasledovné:

kde ZR je zosilnenie regulátora, TI je integračná časová konštanta, TD je derivačná časová konštanta.

Dôležité je tiež vediť, že tvar PID regulátora v Matlabe je

kde




PROPORCIONÁLNY  REGULÁTOR

Najjednoduchšiu formu spätnoväzbového regulátora je dvojpolohový regulátor. Môžno ho opísať nasledovnou podmienkou

Riadiaca veličia takto môže nadobúdať len dve hodnoty, podľa znamienka regulačnej odchýlky. Nevýhodou takéhoto regulátora je, že aj malá hodnota regulačnej odchýlky, môže spôsobiť veľkú zmenu riadiacej veličiny. Pre takéto prípady sa zavádza regulátor, ktorý generuje riadiacu veličinu, ktorá je piamo úmerná regulačnej odchýlke. Jeho správanie opisuje rovnica

Takýto regulátor sa nazýva proporcionálny regulátor (P regulátor).

Ak je regulačná odchýlka veľká (v absolútnej hodnote), P regulátor sa chová ako dvojpolohový, t.j. u je ohraničené svojimi hraničnými hodnotami. Ak riadený systém neobsahuje aspoň jeden integrátor, obvod bude vykazovať trvalú regulaenú odchýlku.


Príklady na riadenie pomocou P regulátora

Riadenie plášťového výmenníka tepla s P regulátorom

Pre tento príklad uvažujme spätnoväzbové riadenie plášťového výmenníka tepla s P regulátorom, ktorého prenos je R(s) = ZR. Výmenník sa dá opísať diferenciálnou rovnicou

kde u je riadiaca a d poruchová veličina.

Predpokladajme riadenie pri W(s) = O  a D(s)=A/s. Prenos URO vzhľadom na poruchovú veličinu možno napísať

Pre výstupnú veličinu potom platí

Výstup z výmenníka je stabilný pre ľubovolné ZR a ustáli sa na hodnote

pričom trvalá regulačná odchýlka je

t.j. so zvyšovaním zosilneia sa znižuje trvalá regulačná odchýlka. So zvyšujúcim sa zosilnením narastá aj sklon prechodovej charakteristiky.

Simulácia riadenia plášťového výmenníka tepla s P regulátorom


Systém vyššieho rádu riadený P regulátorom

Uvažujme spätnoväzbové riadenie systému vyššieho rádu opísaného prenosom

s P regulátorom, ktorého prenos je R(s) = ZR.

Platia tu tie isté črty aplikovania P regulátora, ako pre výmenník tepla. Trvalá regulačná odchýlka sa znižuje so zvyšujúcim zosilnením regulátora. Môže to však byť na úkor kvality riadenia, pretože pre dostatočne vysoké ZR sa môže stať obvod nestabilným.
Simulácia riadenia pre systém vyššieho rádu riadený P regulátorom



INTEGRAČNÝ  REGULÁTOR

Pre riešenie problému trvalej regulačnej odchýlky je najjednoduchšie zaviesť interátor. Akčný zásah sa bude meniť dovtedy, kým nebude regulačná odchýlka nulová. Integrátor totiž pracuje ako pamäťový člen, t.j.  aj pri nulovom vstupnom signále dokáže generovať výstup rôzny od nuly. Táto vlastnosť zaručuje, že trvalá regulačná odchýlka môže byť odstránená, ak regulátor zahŕňa v sebe I  zložku.

Matematicky to možno zapísať nasledovne:

konštanta TI sa nazýva integračná časová konštanta a určuje rýchlosť zmeny akčného zásahu v prípade jednotkovej regulačnej odchýlky. Čím bude veľkosť TI menšia, tým väčšie zmeny riadenia budú generované.


Príklady na riadenie pomocou PI regulátora

Riadenie plášťového výmenníka tepla s PI regulátorom

Opäť uvažujme spätnoväzbové riadenie pre daný výmenník tepla s PI regulátorom, ktorého prenos je

Pre odozvu systému na skokovú zmenu poruchy môžme v Laplaceovej transformácii napísať

takáto prechodová charakteristika bude stabilná a ustaľovať sa bude v nule, pričom jej priebeh bude zvisieť od vlastností výmenníka a konštánt regulátora.

Odozva systému na skokovú zmenu žiadanej veličiny bude

Tento regulátor odstraňuje trvalú regulačnú odchýlku, preto jej hodnota je daná nasledovne

Simulácia riadenia plášťového výmenníka tepla s PI regulátorom


Systém vyššieho rádu riadený PI regulátorom

Uvažujme opäť spätnoväzbové riadenie systému vyššieho rádu rentokrát s PI regulátorom, opísaného rovnakým prenosom ako pri P regulátore

Prenos s PI regulátora je rovnaký ako pri riadení výmenníka tepla s PI regulátorom

Platia tu tie isté črty aplikovania PI regulátora. To znamená, že trvalá regulačná odchýlka je nulová, len pre vysoké hodnoty TI sa výstup bude ustaľovať pomaly. A zase pre dostatočne nízske hodnoty TI sa môže stať systém nestabilným.
Simulácia riadenia systém vyššieho rádu riadený s PI regulátorom



DERIVAČNÝ  REGULÁTOR

Derivačná zložka zlepšuje stabilitu URO. Jej zavedenie vyplýva z toho, že účinok ako P  tak aj I  zložky sa prejaví až po určitom čase, čiže nie je okamžitý.

D  regulátor, ktorý možno opísať nasledovnou rovnicou

TD je derivačná časová konštanta a predpokladá vývoj regulačnej odchýlky.

Ukázať sa to dá na rozvoji e(t + TD)  do Taylorovho radu, kde platí

Graficky znázornenie účinku D  regulátora vyzerá nasledovne

Ideálny D  regulátor je citlivý na šum v riadenej veličine, pretože derivácia nepresného signálu môže viesť k veľkým a častým zmenám amplitúdy riadenia. Ideálny derivačný člen je nerealizovateľný, pretože je nekauzálny. Preto sa zavádza filtrovaný D regulátor s prenosom

Príklad na riadenie pomocou PID regulátora

Systém vyššieho rádu riadený PID regulátorom

Aj pre nasledujúci príklad uvažujme spätnoväzbové riadenie systému vyššieho rádu, tentokrát s PID regulátorom.

Aplikácia TD zložky spôsobí, že regulácia je rýchlejšia a tiež, že vniká menšie preregulovanie. Teoreticky sa teda môže zdať, že TD má za následok stále zlepšovanie kvality riadenia. Táto úvaha je chybná, pretože TD zložka má predikčný charakter, čo znamená že prítomnosť šumu znemožouje zvyšovať ľubovoľne TD.

Simulácia pre systém vyššieho rádu riadený s PID regulátorom



SATURÁCIA  INTEGRÁTORA
Vplyv obmedzení na integračnú zložku regulátora

Akčná veličina je v praxi obmedzená v intervale (umin, umax). Príkladom je napr. ventil pracujúci v intervale medzi úplným zavretím a úplným otvorením, najmenšia rýchlosť motora je nulová a najväčšia daná jeho technickými parametrami, atď. Ak regulátor obsahuje I  zložku a akčný zásah je na obmedzení, integrátor pokračuje v integrovaní regulačnej odchýlky. Dôsledkom toho, ani opačné znamienko regulačnej odchýlky nespôsobí okamžitú zmenu akčného zásahu, pretože I  zložka dominuje regulátoru. Klasickým príznakom saturácie integrátora (integrator windup) je výrazné preregulovanie spôsobené oneskorenou aktivitou regulátora.

Príklad na saturáciu integrátora

Opäť uvažujme spätnoväzbové riadenie systému vyššieho rádu, ktorého prenos je

a je riadený PI regulátorom v tvare

Predpokladajme žiadanú veličinu napr. w = 1 a obmedzenia na vstupe si určíme u ∈ <0.9; 1.1> . Priebeh riadenia možno sledovať v nasledujúcej simulácii

Simulácia:  Vplyv obmedzení na I  zložku regulátora

Odstrániť problém saturácie integračnej zložky možno niekoľkými spôsobmi, najčastejšie používaným je metóda spätného výpočtu. Princíp spätného výpočtu je v prepočítavaní integračnej zložky tak, aby sa akčný zásah nachádzal v danom obmedzení. V praxi to je možné robiť len dynamicky s časovou konštantou Tt a nie v každom časovom bode výpočtu.

Scéma zapojenia je nasledovná:

Na vstupe do prídavného spätnoväzbového obvodu je rozdiel medzi vypočítaným a skutočným akčným zásahom. Ak je vypočítaný zásah v dovolenom intervale, je rozdiel nulový a regulátor sa správa ako pôvodný. Ak sú signály rozdielne, signál integraenej zložky sa mení, kým nedosiahne požadovanú hodnotu.



NASTAVOVANIE  REGULÁTORA
Strejcovou metódou

Pre nastavenie parametrov PID regulátora v tvare

uvažujeme prenos riadeného systému v nasledovnom tvare

pričom Z  je zosilnenie regulátora, T  je časová konštanta, Td  je dopravné oneskorenie systému n  je rád riadeného systému.

Parametre regulátora podľa Strejca sú dané podľa tabuľky

Vyberieme regulátor a z príslušného riadku tabuľky vypočítame jeho parametre. Ak volíme štruktúru PID  regulátora, potom musí byť riadený prenos minimálne tretieho rádu, pre P  a PI  regulátor je nutný prenos minimálne druhého rádu. Vyplýva to zo vzťahu pre výpočet ZR  v tabuľke.

Príklad na Strejcovu metódu

Strejcova metóda nastavovania parametrov regulátora



RIEŠENIE  DIOFANTICKEJ  ROVNICE

Lineárna skalárna polynomická rovnica

sa nazýva diofantická. Pre jednotlivé polynómy platí, že a(s), b(s) a c(s) sú dané a polynómy x(s) a y(s) sú neznáme. Riešenie diofantickej rovnice charakterizuje nasledujúca veta.

Veta o riešiteľnosti diofantickej rovnice:

Nech a(s), b(s) a c(s) sú polynómy s reálnymi koecientmi. Potom diofantická rovnica má riešenie vtedy a len vtedy, ak najväčší spoločný deliteľ a(s) a b(s) delí c(s).

Na základe vety o riešiteľnosti diofantickej rovnice platí, že ak a(s) a b(s) sú nesúdeliteľné, potom diofantická rovnica je riešiteľná pre ľubovoľný polynóm c(s) vrátane prípadu, ak c(s) = 1. Keď je diofantická rovnica riešiteľná, potom má nekonečne veľa riešení.

Všeobecné riešenie diofantickej rovnice je teda

pričom x(s) a y(s) sú partikúlarnym riešením diofantickej rovnice, t(s) je ľubovoľný polynóm a a(s), b(s) sú nesúdeliteľné polynómy, pre ktoré polatí vzťah

Z predchádzajúceho vyplýva, že zo všetkých riešení diofantickej rovnice existuje jediné riešenie, dvojica polynómov x(s) a y(s) pre ktorú platí, že

Tieto dve riešenia sa zhodujú len vtedy, ak platí

Ak platí predchádzajúci vzťah, potom riešenie diofantickej rovnice je minimálneho stupňa z čoho vyplýva, že

ak vzťah neplatí, potom riešenie diofantickej rovnice je možné hľadať aj pre minimálny stupeň polynómu x(s) alebo pre minimálny stupeň polynómu y(s).

Príklad na riešenie diofantickej rovnice

On-line riešenie diofantickej rovnice



POLYNOMICKÝ NÁVRH  PA  REGULÁTOROV

Majme nasledovný spätnoväzbový systém s jedným stupňom voľnosti

Prenos riadeného systému je

a jeho polynómy sú

a sú nesúdeliteľné. Systém je jednorozmerný, striktne rýdzi.

Prenos regulátora má tvar

polynómy regulátora sú tieto

Žiadaný stabilný charakteristický polynóm uzavretého obvodu je

Voľba stuňov polynómov regulátora a polynómu c(s) nie je náhodná. Aby bol regulátor čo najjednoduchší, z diofantickej rovnice vyplýva, že stupeň polynómu q(s) musí byť menší ako stupeň polynómu a(s), ciže nq = n - 1. Aby bola splnená fyzikálna realizovateľnosť regulátora musí platiť, že stupeň polynómu menovateľa p(s) musí byť minimálne rovný (PA prípad 1) alebo väčší (PA prípad 2) ako stupeň q(s). Stupeň polynómu c(s) je potom možné určiť na základe stupňa výsledného polynómu na ľavej strane diofantickej rovnice.


Príklady na riešenie polynomického návrhu PA regulátora

Prípad 1:

Nech c(s) je ľubovoľný polynóm stupňa nc = 2 n - 1, potom existuje polynóm p(s) stupňa np = n - 1 a polynóm q(s) stupňa nq = n - 1, takže platí

Takto navrhnutý regulátor R(s) je rýdzi.

On-line: Prípad 1 návrhu polynomického PA regulátora


Prípad 2:

Nech c(s) je ľubovoľný polynóm stupňa nc = 2 n, potom existuje polynóm p(s) stupňa np = n a polynóm q(s) stupňa nq = n - 1, takže platí

Takto navrhnutý regulátor R(s) je striktne rýdzi.

On-line: Prípad 2 návrhu polynomického PA regulátora



 PA  REGULÁTOR S INTEGRAČNOU ČINNOSŤOU

Klasický uzavretý regulačný obvod, ako sme ho uviedli v predchádzajúcej kapitole, s regulátorom a riadeným systémom nezabezpečí pri existencii porúch odstránenie trvalej regulačnej odchýlky. Toto je možné dosiahnuť zaradením integračného člena do uzavretého obvodu.

Regulačný obvod po implementácii integrátora

PA regulátor je teraz tvorený blokom q(s)/p(s) a blokom 1/s. Takýto PA regulátor zabezpečí pre skokové zmeny žiadanej veličiny w a skokové zmeny poruchy d, že regulačná odchýlka e a veličina ũ v našom uzavretom obvode sa asymptoticky blížia k nule, ak q(s) a p(s) spĺňajú rovnicu

a polynómu c(s) je stabilný.

Postup pri návrhu  PA  regulátora s integračnou činnosťou je nasledovný.

Riadený systé formálne rozšírime o integrátor a polynómy p(s) a q(s) určíme z rovnice

pričom ã(s)

a jeho stupeň je nI = n + 1.

Po nájdení polynómov p(s) a q(s), ktoré určíme z predchádzajúcej rovnice, integrátor presunieme do regulátora. Skutočný regulátor bude mať teda prenosovú funkciu

pričom

Aj v tomto prípade voľba stupňov polynómov regulátora a pravej strany nie je náhodná. Vyplýva z požiadavky minimálneho stupňa polynómu q(s), ktorý je vo všetkých prípadoch daný z diofantickej rovnice rozšírenej o integrátor, uvedenej vyššie vzťahom nq = n. Jednotlivé prípady regulátorov vychádzajú z regulátora s minimálnou realizáciou tak, aby menovateľ s p(s) bol minimálne rovnakého stupňa ako čitateľ. Keď sú už teda známe stupne polynómov regulátora, je stupeň polynómu c(s) možné ureiť zo stupňa výsledného polynómu na ľavej strane diofantickej rovnice. Stupeň polynómu c(s) môže byť aj väčší ako 2 nI , regulátor by však bol príliš zložitý. Najčastejšie sa pri voľbe stupňov regulátora používajú prípady 1 a 2.


Príklady na riešenie polynomického návrhu PA regulátora s integračnou činnosťou

Prípad 1:

Nech c(s) je ľubovoľný polynóm stupňa nc = 2 n, potom existuje polynóm p(s) stupňa np = n - 1 a polynóm q(s) stupňa nq = n, takže platí rovnica

V tomto prípade prenos q(s)/p(s) nespĺňa podmienku rýdzosti, ale prenos skutočne realizovaného regulátora je rýdzi.

Prípad 2:

Nech c(s) je ľubovoľný polynóm stupňa nc = 2 nI - 1 = 2n + 1, potom existuje polynóm p(s) stupňa np = nI - 1 = n a polynóm q(s) stupňa nq = nI - 1 = n, takže platí

Prenos q(s)/p(s) je v tomto prípade rýdzi. Skutočný regulátor je striktne rýdzi a zodpovedá mu prenos

Prípad 3:

Nech c(s) je ľubovoľný polynóm stupňa nc = 2 nI = 2 (n + 1), potom existuje polynóm p(s) stupňa np = nI = n + 1 a polynóm q(s) stupňa nq = nI - 1 = n, takže platí rovnica

Prenos q(s)/p(s) je v tomto prípade striktne rýdzi.


On-line: Návrh polynomického PA regulátora s integračnou činnosťou