1. Algebraická teória riadenia

Algebraickú teóriu riadenia môžeme charakterizovať ako nový prístup k analýze a syntéze riadenia lineárnych dynamických systémov, ktorý využíva na opis dynamických javov moderné štruktúry algebry. Do problematiky riadenia priniesla táto teória nové algoritmy a jednoduché výpočtové postupy. Prenosovú funkciu systému tu nechápeme ako funkciu komplexnej premennej, ale ako algebraický objekt.

1.1 Základné pojmy algebraickej teórie

Okruh (z angl. ring) je množina prvkov R, ktorej prvky môžeme navzájom sčítať, odčítať a násobiť s využitím asociatívnych, komutatívnych a distributívnych zákonov.

R_ps je okruh rýdzich a stabilných (Hurwitzovo stabilných) racionálnych funkcií, ktoré sú analytické v pravej časti komplexnej roviny (Re s ≤ 0) vrátane nekonečna (R_ps ⊂ R_∞). Jednotkami v okruhu R_ps sú racionálne funkcie relatívneho rádu nula s minimálnou fázou.

P je okruh racionálnych funkcií, ktoré sú analytické všade okrem nekonečna. Jedná sa o okruh polynómov. Jednotkami v okruhu P sú iba nenulové konštanty. Množinu stabilných polynómov budeme označovať S (S ⊂ P).

Dva prvky v okruhu R_ps sú nesúdeliteľné, ak nemajú spoločné nuly, dva polynómy v okruhu P sú nesúdeliteľné, ak nemajú spoločné korene.

Nesúdeliteľná faktorizácia je reprezentácia prenosu G v tvare G = N_C / D_G, D_G, N_G ⊂ R_ps
kde D_G, N_G sú nesúdeliteľné v R_ps.

D_G, N_G sú nesúdeliteľné v R_ps, ak D_GD_C + N_GN_C = 1

Riešenie je náročné, preto sa rieši v okruhu polynómov (konvertuje sa na polynomické rovnice).

2.2 Polynómy

Polynóm

A = a_ns_n + a_n

je stupňa n ak a_n ≠ 0. Stupeň polynómu A budeme označovať n = deg A. Ak a_n = 1, potom polynóm A sa nazýva monický.
Hovoríme, že polynóm B je deliteľ polynómu A alebo polynóm A je násobok B, ak existuje polynóm C taký, že

A = BC

Túto skutočnosť budeme zapisovať B|A (t.j. B delí A).
Pre každé dva polynómy A, B existuje najväčší spoločný deliteľ D. Najväčší spoločný deliteľ polynómov A, B budeme oznaeovať d(A, B).

2.3 Polynomické rovnice

Základným matematickým aparátom v okruhu P sú lineárne polynomické (diofantické) rovnice typu:

AX + BY = M, (1)

ktorých riešenie existuje práve vtedy, ak najväčší spoločný deliteľ A,B delí M (uvedenú podmienku môžeme zapísať v tvare d(A,B)|M). Úlohou je určiť neznáme polynómy X, Y splňujúce (1) pomocou známych polynómov A, B a M. Ak B = 0, prechádza rovnica na tvar

AX = M. (2)

Rovnica (2) má jediné riešenie vtedy, ak A|M. Tento prípad nie je pre úlohy automatickej regulácie zaujímavý, a preto ďalej budeme predpokladať, že A ≠ 0, B ≠ 0. Ak označíme najväčšieho spoločného deliteľa A a B ako D, čo zapíšeme d(A|B) = D, potom riešenie diofantickej rovnice (1) existuje, ak ľavá aj pravá strana je deliteľná D. Dá sa dokázať, že uvedená vlastnosť je nevyhnutná a postačujúca podmienka pre existenciu riešenia diofantickej rovnice. Rovnica (1) má teda riešenie vtedy, ak D|M, čo môžeme vyjadriť nasledovne:

A = A₀D; B = B₀D a M = M₀D; (3)

kde A₀, B₀, M₀ sú redukované polynómy. Ak rovnicu (1) krátime D ≠ 0, potom získame ekvivalentnú diofantickú rovnicu

A₀X + B₀Y = M₀.

Ďalej už predpokladáme, že A₀ a B₀0 sú nesúdeliteľné. Diofantická rovnica (3) je lineárna, a preto jej riešenie je dané súčtom partikulárneho riešenia úplnej rovnice a riešenia skrátenej rovnice (s nenulovou) pravou stranou. Ak označíme partikulárne riešenie rovnice (3) X₀ a Y₀, potom všeobecné riešenie sa dá vyjadriť v tvare:

X = X₀ - B₀Q;

Y = Y₀ - A₀Q;

kde Q je ľubovoľný polynóm. Ak existuje riešenie rovnice (3), potom existuje nekonečne veľa ďalších riešení, medzi ktorými je jediné také riešenie, ktoré spĺňa podmienku, že deg Y < deg A₀. Toto riešenie dáva minimálny stupeň polynómu Y . Podobným spôsobom sa dá ukázať, že existuje jediné riešenie deg X ≤ deg B₀, teda s minimálnym stupňom polynómu X. Ak deg M₀ < deg A₀ + deg B₀, obidve minimálne riešenia splývajú. Na riešenie polynomickej rovnice (3) existuje viacero metód. Z hľadiska využitia výsledkov, ktoré poskytujú, sa javí najvhodnejšia metóda neurčitých koeficientov. Pri nej sa odhadnú najskôr stupne neznámych polynómov, priečm z hľadiska syntézy požadujeme, aby boli minimálne. Neznáme stupne polynómov určíme nasledovne

deg X = deg B₀-1

deg Y = deg A₀-1 pre deg A₀ + deg B₀ > deg M₀

deg Y = deg M₀-deg B₀ pre deg A₀ + deg B₀ ≤ deg M₀.

Potom sa polynómy X, Y dosadia do (3). Po roznásobení a sčítaní jednotlivých elementov, porovnáme koeficienty pri rovnakých mocninách s. Získame tak sústavu lineárnych algebraických rovníc, ktorej riešenie sú neznáme polynómy. Uvedený postup zaručuje, že polynómy X, Y , ktoré získame týmto spôsobom, budú minimálneho stupňa.

2 Návrh riadenia

Stránka je venovaná algebraickým metódam návrhu lineárnych spätnoväzbových regulačných obvodov. Algebraické metódy riadenia je spoločný názov pre metódy analýzy a syntézy dynamických systémov, ktoré vychádzajú z vonkajšieho opisu systému, ktorý chápu ako algebraický objekt. Výsledky spočívajú v riešení algebraických rovníc rôznych typov. Tieto metódy boli pôvodne aplikované na riešenie veľmi jednoduchých problémov riadenia ako stabilizácia a umiestnenie pólov. Postupne sa z nich stali užitočné nástroje na rie1enie širokej triedy úloh (odstránenie poruchy, sledovanie referenčného signálu, optimálne riadenie, robustné riadenie, adaptívne riadenie, atď.).

Zlomkové reprezentácie sú vhodným algebraickým prostriedkom na návrh regulačných obvodov. Podstata ich využitia spočíva v nasledujúcich krokoch:

Najskôr zvolíme základnú požiadavku na regulačný obvod (najčastejšie to býva stabilita).

Prenos riadeného objektu vyjadríme ako podiel dvoch stabilných prenosov.

Riešením diofantickej rovnice určíme všetky regulátory, ktoré stabilizujú daný objekt.

Nakoniec vyhovieme ďalším požiadavkám (napr. optimálnosť, robustnosť) na regulačný obvod tým, že vyberieme vhodný parameter.

Tieto myšlienky boli najskôr rozvinuté v oblasti lineárnych diskrétnych systémov.

V algebraickom zmysle zodpovedajúce označenia rýdzosti môžu byť urobené spôsobom, ktorý je podobný zavedeniu pojmu stability. Návrh regulátorov sa redukuje na riešenie lineárnych diofantických rovníc, ktoré možno v okruhu polynómov algoritmicky riešiť transformáciou na sústavu algebraických rovníc. Tento spôsob syntézy regulátora je výhodný pre adaptívne riadenie, pretože ponúka vyjadrenie parametrov regulátora ako funkciu parametrov prenosu riadeného systému.

V ďalšej časti uvedieme výsledky návrhu regulátora metódou umiestnenia pólov, ktorý splňuje určité požiadavky. Jedná sa o návrh, ktorý zaručí stabilitu spätnoväzbového obvodu, asymptotické sledovanie referenčnej (žiadanej) veličiny a odstránenie poruchovej veličiny.

2.1 Uzavretý regulačný obvod

Majme uzavretý regulačený obvod podľa obr. 1 opísaný vzťahmi

y = Gu + d,

u = C_rw,

kde u je akčná veličina, y je regulovaná veličina, w je žiadaná veličina a d je porucha na výstupe riadeného systému.

Riadený systém G, spätnoväzbový regulátor C a priamoväzbový regulátor C_r možno vyjadriť ako podiel dvoch prvkov z R_ps alebo P:

riadený systém G:

G = N_G / D_G = B / A N_G = B / M₁, D_G = A / M₁,

kde N_G, D_G ∈ R_ps a A, B ∈ P;

spätnoväzbový regulátor C:

C = N_C / D_C = Y / X N_C = Y / M₂, D_C = X / M₂,

kde N_C, D_C ∈ R_ps a X, Y ∈ P;

priamoväzbový regulátor Cr:

Cr = N_Cr / D_C = R / X N_Cr = Y / M₂,

kde N_Cr ∈ R_ps a R ∈ P;

žiadaná veličina w:

w = N_w / D_w = H_w / F_w N_w = H_w / M₁, D_w = F_w / M₁,

kde N_w, D_w ∈ R_ps a H_w, F_w ∈ P;

poruchová veličina d:

d = N_d / D_d = H_d / F_d N_d = H_d / M₃, D_d = F_d / M₃,

kde N_d, D_d ∈ R_ps a H_d, F_d ∈ P. Z predchádzajúcich vzťahov vyplýva, že M₁, M₂ a M₃ ∈ S musia byť polynómy s nasledujúcimi stupňami:

deg M₁ ≥ max(deg A; deg F_w); deg M₂ ≥ deg X; deg M₃ ≥ deg F_d.

Ak N_Cr = N_C potom sa jedná o prípad jednoduchého spätnoväzbového riadenia (1 Dof) (obr. 2).

Úlohou syntézy riadenia je určiť racionálne funkcie D_C, N_Cr , N_C ∈ Rps tak, aby uzavretý regulačný obvod bol asymptoticky stabilný a regulačná odchýlka

e = w - y = (1 - (N_G N_Cr)/(D_G D_C + N_G N_C))(N_w / D_w)

+ (D_G / D_C) / (D_G D_C + N_G N_C)(N_d / D_d)

konvergovala k nule.

2.1.1 Stabilita

Uzavretý regulačný obvod na obr. 1, resp. 2 je stabilný vtedy, keď menovateľ uzavretého regulačného obvodu D_G D_C + N_G N_C je jednotka v okruhu R_ps. Z tejto podmienky vyplýva, če stabilizujúce (spätnoväzbové) regulátory získame riešením diofantickej rovnice (Bezoutovej Identity):

D_GD_C + N_GN_C = 1.

Ak požadujeme okrem stability uzavretého regulačného obvodu aj stabilitu regulátora, potom hovoríme o silnej stabilizácii.

2.1.2 Asymptotické sledovanie

Z požiadavky asymptotického sledovania žiadanej hodnoty (asymptotic tracking) vyplýva, že chyba sledovania (regulačná odchýlka):

e = w - y = (1 - (N_G N_Cr)/(D_G D_C + N_G N_C))(N_w / D_w)

musí byť stabilná (obr. 3). Aby odchýlka bola stabilná, musí byť menovateľ jednotka v R_ps. To znamená, že musí byť stabilný uzavretý regulačný obvod.

Regulačná odchýlka je potom v tvare:

e = (1 - N_GN_Cr)(N_w / D_w).

Pretože N_w nie je špecifikované, musí D_w deliť 1 - N_GN_Cr v okruhu R_ps. Z tejto podmienky vyplýva, že musí existovať prvok N_Z ∈ R_ps taký, že

1 - N_GN_Cr = D_wN_Z.

Preto priamoväzbový regulátor C_r existuje vtedy a len vtedy, ak D_w a N_G sú nesúdeliteľné v okruhu R_ps.

Všetky stabilizujúce 2 DoF (z angl. two degrees of freedom) regulátory zabezpečujúce asymptotické sledovanie žiadanej veličiny sú potom dané nasledovne

C = N_C / D_C = (N_C0 + D_GQ)/(D_C0 - N_GQ)

C_r = N_Cr / D_Cr = (N_Cr0 + D_wQ_r)/(D_C0 - N_GQ)

kde D_C0 , N_Cr0 , N_C0 ∈ R_ps sú partikulárne riešenia a Q, Q_r ∈ R_ps sú ľubovoľné polynómy s obmedzením, že D_C0 - N_GQ ≠ 0. Toto obmedzenie nie je veľmi prísne, pretože D_C0 - N_GQ sa môže identicky zmeniť na nulu iba pre jeden prípad voľby Q.

Nakoniec chybu sledovania môžeme vyjadriť v tvare

e = N_ZH_w.

2.1.3 Odstránenie poruchy

Poruchové veličiny z hľadiska získavania informácií sa delia na merateľné a nemerateľné. Štruktúra obvodu pre kompenzáciu porúch (z angl. disturbance rejection) závisí na tom, či je poruchová veličina merateľná alebo nemerateľná.

Merateľná porucha

Ak uvažujeme iba merateľnú poruchovú veličinu, potom jej dynamický účinok na regulovanú veličinu môže byť aproximovaný prenosovou funkciou a na kompenzáciu tejto poruchy sa môže použiť dopredný regulátor.

Nemerateľná porucha

Uvažujme uzavretý regulačný obvod, v ktorom na výstupe systému pôsobí nemerateľná porucha d. Model spätnoväzbového obvodu pre odstránenie poruchy je na obr. 4. Pokiaľ nevieme merať poruchu na výstupe systému, potom ju žiadnym regulátorom nevieme úplne odstrániť. Môžeme však navrhnúť taký regulátor, ktorý zabezpečí, že výstupná veličina bude asymptoticky stabilná. Potom bude vplyv poruchy asymptoticky potláčaný.

Z požiadavky stability uzavretého regulačného obvodu vyplýva, že výstup

y = (D_GD_C)/(D_GD_C + N_GN_C)(N_d / D_d)

musí byť stabilný. Dosadením bude výstup v tvare

y = (D_GD_CN_d)/(D_d)

Aby výstup bol stabilný, musí byť menovateľ jednotka v R_ps. Aby sme to dosiahli, musí sa D_d vykrátiť s čitateľom (za predpokladu, že D_d a D_G sú nesúdeliteľné). Pretože v čitateli je voliteľný iba prvok D_C, môžeme ho zvoliť v tvare D_C = D_d D_C'. Stabilizujúce (spätnoväzbové) regulátory, ktoré zabezpečujú asymptotické odstránenie poruchy potom získame riešením modifikovanej diofantickej rovnice

D_GD_dD_C' + N_GN_C = 1 (D_C = D_dD_C').

Výhoda 2 DoF štruktúry regulátora oproti 1 DoF štruktúre je v tom, že vlastnosti spätnej väzby môžu byť tvarované nezávisle na vlastnostiach sledovania.

2.2 Metóda umiestnenia pólov

Treba si uvedomiť, že diofantické rovnice nie sú polynomické rovnice, ale rovnice v okruhu R_ps. Pretože rovnice v okruhu R_ps nevieme riešiť, musíme ich konvertovať na rovnice v okruhu P (t.j. na polynomické rovnice).
Podmienku stability v okruhu polynómov:

AX + BY = M₁M₂ = M.

V okruhu polynómov platí aj;

F_wZ + BR = M₁M₂ = M:

Pretože M₁ a M₂ sú stabilné polynómy, ich súčin M je tiež stabilný polynóm. Ak polynóm M je zvolený á priori, potom regulátor je navrhnutý metódou umiestnenia pólov.

Vnútorná stabilita uzavretého obvodu s pólmi danými polynómom M je dosiahnutá a úloha sledovania má riešenie vtedy a len vtedy, ak dvojice polynómov A, B a F_w, B sú nesúdeliteľné. Spätnoväzbová časť regulátora je daná riešením diofantickej rovnice

AX + BY = M,

a priamoväzbová časť regulátora je daná riešením ďalšej diofantickej rovnice

F_wZ + BR = M.

3 Polynomické LQ riadenie

Úlohou polynomického optimálneho riadenia je nájsť regulátor, ktorý okrem asymptotickej stability spätnoväzbového systému a minimalizácie kvadratického kritéria zabezpečí aj asymptotické sledovanie referenčnej (žiadanej) veličiny. Pri polynomickom spojitom riadení možno rozlíšiť dva typy kritérií optimálneho riadenia (v kvadratickom zmysle).

Deterministické riadenie (typ LQ - Linear Quadratic)

minimalizuje kritérium

kde φ > 0, ψ 0 sú váhové koeficienty. Cieľom tohto prístupu je minimalizovať toto kritérium tak, aby uzavretý regulačný obvod (zobrazený na obr. 5) definovaný vzťahmi

y = Gu + d, G = B / A,

u = Ce, C = Y / X,

bol asymptoticky stabilný. Potom pravá strana diofantickej rovnice má tvar

M = D_cD_f ,

kde stabilný polynóm D_c je určený spektrálnym faktorizačným rozkladom

a polynóm D_f je ľubovoľný stabilný polynóm.

Nekonvenčný LQ problém suboptimálneho sledovania je založený na minimalizácii modifikovaného kvadratického funkcionálu

kde e = w - y označuje regulačnú odchýlku. Kvadratický funkcionál môče byť prepísaný použitím Parsevalovho teorému, na získanie výrazu v komplexnej oblasti

Nekonvenčné LQ sledovanie pre 1 DoF

Definujme stabilné polynómy D_c a D_f získané zo spektrálnych faktorizácií

D^*_cD_c = φA^*F^*AF + ψB^*B

D^*_fD_f = A^*H^*AH

potom stabilita a riešenie deterministickej LQ úlohy je dané polynómami regulátora Y_c, X_c vypočítanými z dvojice diofantických rovníc. Riešenie existuje vtedy ak AF a B sú nesúdeliteľné. Regulátor C_c = Y_c=(FX_c) je daný riešením dvojice diofantických rovníc

φB^*D_f - AFV^* = D^*_cY_c

ψA^*F^*D_f - BV^* = D^*_cX_c

Ak sú polynómy AF a B nesúdeliteľné, potom dvojica diofantických rovníc je redukovaná do diofantickej rovnice

AFX_c + B_y = D_cD_f

Nekonvenčné LQ sledovanie pre 2 DoF

Definujme stabilné polynómy D_c a D_f získané zo spektrálnych faktorizácií

D^*_cD_c = φA^*F^*AF + ψB^*B

D^*_fD_f = A^*H^*AH

D^*_rD_r = H^*H

φB^*D_f - AFV^* = D^*_cY_c

ψA^*F^*D_f - BV^* = D^*_cX_c

Ak sú polynómy AF a B nesúdeliteľné, potom dvojica diofantických rovníc je redukovaná do diofantickej rovnice

AFX_c + B_y = D_cD_f

FW + BR = D_cD_r

Výhodou LQ regulátorov je skutočnosť, že regulačné pochody sú optimálne. Toto však z matematického hľadiska platí iba v prípade

zvoleného kritéria,

ak objekt a model sú zhodné a lineárne.

4 Schémy

5 Príklady

1 DoF

Po otvorení súboru formular.html nájdeme formulár na zadávanie parametrov. Zadávame od vrchu dĺžku simulácie, počiatočný čas žiadanej veličiny, konečná veľkosť žiadanej veličiny, čas, v ktorom sa objaví porucha, veľkosť tejto poruchy, čitateľa a menovateľa prenosu nášho spätnoväzbového modelu a váhové keoficienty.

Ako je z obrázku vidieť dĺžka simulácie je 500 s, počiatočný čas žiadanej veličiny 0 s, konečná veľkosť žiadanej veličiny 5, čas, v ktorom sa objaví porucha 50 s, veľkosť tejto poruchy 1, čitateľa a menovateľa prenosu nášho spätnoväzbového modelu a váhové keoficienty. Výsledok po odoslaní je

Druhý krát som si zvolil dĺžku simulácie 500 s, počiatočný čas žiadanej veličiny 0 s, konečná veľkosť žiadanej veličiny 6, čas, v ktorom sa objaví porucha 50 s, veľkosť tejto poruchy 0.5, iný čitateľ a menovateľ prenosu nášho spätnoväzbového modelu i iné váhové keoficienty

a výsledok je

2 DoF

Pre 2 DoF obvod sú priebehy odlišné.