1. Algebraická teória riadenia

  Algebraickú teóriu riadenia môžeme charakterizovať ako nový prístup k analýze a syntéze riadenia lineárnych dynamických systémov, ktorý využíva na opis dynamických javov moderné štruktúry algebry. Do problematiky riadenia priniesla táto teória nové algoritmy a jednoduché výpočtové postupy. Prenosovú funkciu systému tu nechápeme ako funkciu komplexnej premennej, ale ako algebraický objekt.

1.1 Základné pojmy algebraickej teórie

  Okruh (z angl. ring) je množina prvkov R, ktorej prvky môžeme navzájom sčítať, odčítať a násobiť s využitím asociatívnych, komutatívnych a distributívnych zákonov.

  Rps je okruh rýdzich a stabilných (Hurwitzovo stabilných) racionálnych funkcií, ktoré sú analytické v pravej časti komplexnej roviny (Re s ≤ 0) vrátane nekonečna (Rps ⊂ R). Jednotkami v okruhu Rps sú racionálne funkcie relatívneho rádu nula s minimálnou fázou.

  P je okruh racionálnych funkcií, ktoré sú analytické všade okrem nekonečna. Jedná sa o okruh polynómov. Jednotkami v okruhu P sú iba nenulové konštanty. Množinu stabilných polynómov budeme označovať S (S ⊂ P).

  Dva prvky v okruhu Rps sú nesúdeliteľné, ak nemajú spoločné nuly, dva polynómy v okruhu P sú nesúdeliteľné, ak nemajú spoločné korene.

  Nesúdeliteľná faktorizácia je reprezentácia prenosu G v tvare      G = NC / DG,      DG, NG ⊂ Rps
kde DG, NG sú nesúdeliteľné v Rps.

  DG, NG sú nesúdeliteľné v Rps, ak      DGDC + NGNC = 1

  Riešenie je náročné, preto sa rieši v okruhu polynómov (konvertuje sa na polynomické rovnice).

2.2 Polynómy

Polynóm

A = ansn + an

je stupňa n ak an ≠ 0. Stupeň polynómu A budeme označovať n = deg A. Ak an = 1, potom polynóm A sa nazýva monický.
Hovoríme, že polynóm B je deliteľ polynómu A alebo polynóm A je násobok B, ak existuje polynóm C taký, že

A = BC

Túto skutočnosť budeme zapisovať B|A (t.j. B delí A).
Pre každé dva polynómy A, B existuje najväčší spoločný deliteľ D. Najväčší spoločný deliteľ polynómov A, B budeme oznaeovať d(A, B).

2.3 Polynomické rovnice

Základným matematickým aparátom v okruhu P sú lineárne polynomické (diofantické) rovnice typu:

AX + BY = M, (1)

ktorých riešenie existuje práve vtedy, ak najväčší spoločný deliteľ A,B delí M (uvedenú podmienku môžeme zapísať v tvare d(A,B)|M). Úlohou je určiť neznáme polynómy X, Y splňujúce (1) pomocou známych polynómov A, B a M. Ak B = 0, prechádza rovnica na tvar

AX = M. (2)

Rovnica (2) má jediné riešenie vtedy, ak A|M. Tento prípad nie je pre úlohy automatickej regulácie zaujímavý, a preto ďalej budeme predpokladať, že A ≠ 0, B ≠ 0. Ak označíme najväčšieho spoločného deliteľa A a B ako D, čo zapíšeme d(A|B) = D, potom riešenie diofantickej rovnice (1) existuje, ak ľavá aj pravá strana je deliteľná D. Dá sa dokázať, že uvedená vlastnosť je nevyhnutná a postačujúca podmienka pre existenciu riešenia diofantickej rovnice. Rovnica (1) má teda riešenie vtedy, ak D|M, čo môžeme vyjadriť nasledovne:

A = A0D;     B = B0D     a     M = M0D; (3)

kde A0, B0, M0 sú redukované polynómy. Ak rovnicu (1) krátime D ≠ 0, potom získame ekvivalentnú diofantickú rovnicu

A0X + B0Y = M0.

Ďalej už predpokladáme, že A0 a B00 sú nesúdeliteľné. Diofantická rovnica (3) je lineárna, a preto jej riešenie je dané súčtom partikulárneho riešenia úplnej rovnice a riešenia skrátenej rovnice (s nenulovou) pravou stranou. Ak označíme partikulárne riešenie rovnice (3) X0 a Y0, potom všeobecné riešenie sa dá vyjadriť v tvare:

X = X0 - B0Q;

Y = Y0 - A0Q;

kde Q je ľubovoľný polynóm. Ak existuje riešenie rovnice (3), potom existuje nekonečne veľa ďalších riešení, medzi ktorými je jediné také riešenie, ktoré spĺňa podmienku, že deg Y < deg A0. Toto riešenie dáva minimálny stupeň polynómu Y . Podobným spôsobom sa dá ukázať, že existuje jediné riešenie deg X ≤ deg B0, teda s minimálnym stupňom polynómu X. Ak deg M0 < deg A0 + deg B0, obidve minimálne riešenia splývajú. Na riešenie polynomickej rovnice (3) existuje viacero metód. Z hľadiska využitia výsledkov, ktoré poskytujú, sa javí najvhodnejšia metóda neurčitých koeficientov. Pri nej sa odhadnú najskôr stupne neznámych polynómov, priečm z hľadiska syntézy požadujeme, aby boli minimálne. Neznáme stupne polynómov určíme nasledovne

deg X = deg B0-1

deg Y = deg A0-1               pre deg A0 + deg B0 > deg M0

deg Y = deg M0-deg B0      pre deg A0 + deg B0 ≤ deg M0.

Potom sa polynómy X, Y dosadia do (3). Po roznásobení a sčítaní jednotlivých elementov, porovnáme koeficienty pri rovnakých mocninách s. Získame tak sústavu lineárnych algebraických rovníc, ktorej riešenie sú neznáme polynómy. Uvedený postup zaručuje, že polynómy X, Y , ktoré získame týmto spôsobom, budú minimálneho stupňa.

2 Návrh riadenia

Stránka je venovaná algebraickým metódam návrhu lineárnych spätnoväzbových regulačných obvodov. Algebraické metódy riadenia je spoločný názov pre metódy analýzy a syntézy dynamických systémov, ktoré vychádzajú z vonkajšieho opisu systému, ktorý chápu ako algebraický objekt. Výsledky spočívajú v riešení algebraických rovníc rôznych typov. Tieto metódy boli pôvodne aplikované na riešenie veľmi jednoduchých problémov riadenia ako stabilizácia a umiestnenie pólov. Postupne sa z nich stali užitočné nástroje na rie1enie širokej triedy úloh (odstránenie poruchy, sledovanie referenčného signálu, optimálne riadenie, robustné riadenie, adaptívne riadenie, atď.).

Zlomkové reprezentácie sú vhodným algebraickým prostriedkom na návrh regulačných obvodov. Podstata ich využitia spočíva v nasledujúcich krokoch:
  • Najskôr zvolíme základnú požiadavku na regulačný obvod (najčastejšie to býva stabilita).
  • Prenos riadeného objektu vyjadríme ako podiel dvoch stabilných prenosov.
  • Riešením diofantickej rovnice určíme všetky regulátory, ktoré stabilizujú daný objekt.
  • Nakoniec vyhovieme ďalším požiadavkám (napr. optimálnosť, robustnosť) na regulačný obvod tým, že vyberieme vhodný parameter.

    Tieto myšlienky boli najskôr rozvinuté v oblasti lineárnych diskrétnych systémov.

    V algebraickom zmysle zodpovedajúce označenia rýdzosti môžu byť urobené spôsobom, ktorý je podobný zavedeniu pojmu stability. Návrh regulátorov sa redukuje na riešenie lineárnych diofantických rovníc, ktoré možno v okruhu polynómov algoritmicky riešiť transformáciou na sústavu algebraických rovníc. Tento spôsob syntézy regulátora je výhodný pre adaptívne riadenie, pretože ponúka vyjadrenie parametrov regulátora ako funkciu parametrov prenosu riadeného systému.

    V ďalšej časti uvedieme výsledky návrhu regulátora metódou umiestnenia pólov, ktorý splňuje určité požiadavky. Jedná sa o návrh, ktorý zaručí stabilitu spätnoväzbového obvodu, asymptotické sledovanie referenčnej (žiadanej) veličiny a odstránenie poruchovej veličiny.
  • 2.1 Uzavretý regulačný obvod

    Majme uzavretý regulačený obvod podľa obr. 1 opísaný vzťahmi

    y = Gu + d,

    u = Crw,

    kde u je akčná veličina, y je regulovaná veličina, w je žiadaná veličina a d je porucha na výstupe riadeného systému.

    Riadený systém G, spätnoväzbový regulátor C a priamoväzbový regulátor Cr možno vyjadriť ako podiel dvoch prvkov z Rps alebo P:
  • riadený systém G:

    G = NG / DG = B / A    NG = B / M1, DG = A / M1,

    kde NG, DG ∈ Rps a A, B ∈ P;
  • spätnoväzbový regulátor C:

    C = NC / DC = Y / X    NC = Y / M2, DC = X / M2,

    kde NC, DC ∈ Rps a X, Y ∈ P;
  • priamoväzbový regulátor Cr:

    Cr = NCr / DC = R / X    NCr = Y / M2,

    kde NCr ∈ Rps a R ∈ P;
  • žiadaná veličina w:

    w = Nw / Dw = Hw / Fw    Nw = Hw / M1, Dw = Fw / M1,

    kde Nw, Dw ∈ Rps a Hw, Fw ∈ P;
  • poruchová veličina d:

    d = Nd / Dd = Hd / Fd    Nd = Hd / M3, Dd = Fd / M3,

    kde Nd, Dd ∈ Rps a Hd, Fd ∈ P. Z predchádzajúcich vzťahov vyplýva, že M1, M2 a M3 ∈ S musia byť polynómy s nasledujúcimi stupňami:

    deg M1 ≥ max(deg A; deg Fw); deg M2 ≥ deg X; deg M3 ≥ deg Fd.

    Ak NCr = NC potom sa jedná o prípad jednoduchého spätnoväzbového riadenia (1 Dof) (obr. 2).

    Úlohou syntézy riadenia je určiť racionálne funkcie DC, NCr , NC ∈ Rps tak, aby uzavretý regulačný obvod bol asymptoticky stabilný a regulačná odchýlka

    e = w - y = (1 - (NG NCr)/(DG DC + NG NC))(Nw / Dw)

    + (DG / DC) / (DG DC + NG NC)(Nd / Dd)

    konvergovala k nule.

  • 2.1.1 Stabilita
    Uzavretý regulačný obvod na obr. 1, resp. 2 je stabilný vtedy, keď menovateľ uzavretého regulačného obvodu DG DC + NG NC je jednotka v okruhu Rps. Z tejto podmienky vyplýva, če stabilizujúce (spätnoväzbové) regulátory získame riešením diofantickej rovnice (Bezoutovej Identity):

    DGDC + NGNC = 1.

    Ak požadujeme okrem stability uzavretého regulačného obvodu aj stabilitu regulátora, potom hovoríme o silnej stabilizácii.
    2.1.2 Asymptotické sledovanie
    Z požiadavky asymptotického sledovania žiadanej hodnoty (asymptotic tracking) vyplýva, že chyba sledovania (regulačná odchýlka):

    e = w - y = (1 - (NG NCr)/(DG DC + NG NC))(Nw / Dw)

    musí byť stabilná (obr. 3). Aby odchýlka bola stabilná, musí byť menovateľ jednotka v Rps. To znamená, že musí byť stabilný uzavretý regulačný obvod.

    Regulačná odchýlka je potom v tvare:

    e = (1 - NGNCr)(Nw / Dw).

    Pretože Nw nie je špecifikované, musí Dw deliť 1 - NGNCr v okruhu Rps. Z tejto podmienky vyplýva, že musí existovať prvok NZ ∈ Rps taký, že

    1 - NGNCr = DwNZ.

    Preto priamoväzbový regulátor Cr existuje vtedy a len vtedy, ak Dw a NG sú nesúdeliteľné v okruhu Rps.

    Všetky stabilizujúce 2 DoF (z angl. two degrees of freedom) regulátory zabezpečujúce asymptotické sledovanie žiadanej veličiny sú potom dané nasledovne

    C = NC / DC = (NC0 + DGQ)/(DC0 - NGQ)

    Cr = NCr / DCr = (NCr0 + DwQr)/(DC0 - NGQ)

    kde DC0 , NCr0 , NC0 ∈ Rps sú partikulárne riešenia a Q, Qr ∈ Rps sú ľubovoľné polynómy s obmedzením, že DC0 - NGQ ≠ 0. Toto obmedzenie nie je veľmi prísne, pretože DC0 - NGQ sa môže identicky zmeniť na nulu iba pre jeden prípad voľby Q.

    Nakoniec chybu sledovania môžeme vyjadriť v tvare

    e = NZHw.

    2.1.3 Odstránenie poruchy
    Poruchové veličiny z hľadiska získavania informácií sa delia na merateľné a nemerateľné. Štruktúra obvodu pre kompenzáciu porúch (z angl. disturbance rejection) závisí na tom, či je poruchová veličina merateľná alebo nemerateľná.

    Merateľná porucha

    Ak uvažujeme iba merateľnú poruchovú veličinu, potom jej dynamický účinok na regulovanú veličinu môže byť aproximovaný prenosovou funkciou a na kompenzáciu tejto poruchy sa môže použiť dopredný regulátor.

    Nemerateľná porucha

    Uvažujme uzavretý regulačný obvod, v ktorom na výstupe systému pôsobí nemerateľná porucha d. Model spätnoväzbového obvodu pre odstránenie poruchy je na obr. 4. Pokiaľ nevieme merať poruchu na výstupe systému, potom ju žiadnym regulátorom nevieme úplne odstrániť. Môžeme však navrhnúť taký regulátor, ktorý zabezpečí, že výstupná veličina bude asymptoticky stabilná. Potom bude vplyv poruchy asymptoticky potláčaný.

    Z požiadavky stability uzavretého regulačného obvodu vyplýva, že výstup

    y = (DGDC)/(DGDC + NGNC)(Nd / Dd)

    musí byť stabilný. Dosadením bude výstup v tvare

    y = (DGDCNd)/(Dd)

    Aby výstup bol stabilný, musí byť menovateľ jednotka v Rps. Aby sme to dosiahli, musí sa Dd vykrátiť s čitateľom (za predpokladu, že Dd a DG sú nesúdeliteľné). Pretože v čitateli je voliteľný iba prvok DC, môžeme ho zvoliť v tvare DC = Dd DC'. Stabilizujúce (spätnoväzbové) regulátory, ktoré zabezpečujú asymptotické odstránenie poruchy potom získame riešením modifikovanej diofantickej rovnice

    DGDdDC' + NGNC = 1 (DC = DdDC').

    Výhoda 2 DoF štruktúry regulátora oproti 1 DoF štruktúre je v tom, že vlastnosti spätnej väzby môžu byť tvarované nezávisle na vlastnostiach sledovania.

    2.2 Metóda umiestnenia pólov

    Treba si uvedomiť, že diofantické rovnice nie sú polynomické rovnice, ale rovnice v okruhu Rps. Pretože rovnice v okruhu Rps nevieme riešiť, musíme ich konvertovať na rovnice v okruhu P (t.j. na polynomické rovnice).
    Podmienku stability v okruhu polynómov:

    AX + BY = M1M2 = M.

    V okruhu polynómov platí aj;

    FwZ + BR = M1M2 = M:

    Pretože M1 a M2 sú stabilné polynómy, ich súčin M je tiež stabilný polynóm. Ak polynóm M je zvolený á priori, potom regulátor je navrhnutý metódou umiestnenia pólov.

    Vnútorná stabilita uzavretého obvodu s pólmi danými polynómom M je dosiahnutá a úloha sledovania má riešenie vtedy a len vtedy, ak dvojice polynómov A, B a Fw, B sú nesúdeliteľné. Spätnoväzbová časť regulátora je daná riešením diofantickej rovnice

    AX + BY = M,

    a priamoväzbová časť regulátora je daná riešením ďalšej diofantickej rovnice

    FwZ + BR = M.

    3 Polynomické LQ riadenie

    Úlohou polynomického optimálneho riadenia je nájsť regulátor, ktorý okrem asymptotickej stability spätnoväzbového systému a minimalizácie kvadratického kritéria zabezpečí aj asymptotické sledovanie referenčnej (žiadanej) veličiny. Pri polynomickom spojitom riadení možno rozlíšiť dva typy kritérií optimálneho riadenia (v kvadratickom zmysle).

    Deterministické riadenie (typ LQ - Linear Quadratic)

    minimalizuje kritérium

    kde φ > 0, ψ 0 sú váhové koeficienty. Cieľom tohto prístupu je minimalizovať toto kritérium tak, aby uzavretý regulačný obvod (zobrazený na obr. 5) definovaný vzťahmi

    y = Gu + d, G = B / A,

    u = Ce, C = Y / X,

    bol asymptoticky stabilný. Potom pravá strana diofantickej rovnice má tvar

    M = DcDf ,

    kde stabilný polynóm Dc je určený spektrálnym faktorizačným rozkladom

    a polynóm Df je ľubovoľný stabilný polynóm.

    Nekonvenčný LQ problém suboptimálneho sledovania je založený na minimalizácii modifikovaného kvadratického funkcionálu

    kde e = w - y označuje regulačnú odchýlku. Kvadratický funkcionál môče byť prepísaný použitím Parsevalovho teorému, na získanie výrazu v komplexnej oblasti

    Nekonvenčné LQ sledovanie pre 1 DoF

    Definujme stabilné polynómy Dc a Df získané zo spektrálnych faktorizácií

    D*cDc = φA*F*AF + ψB*B

    D*fDf = A*H*AH

    potom stabilita a riešenie deterministickej LQ úlohy je dané polynómami regulátora Yc, Xc vypočítanými z dvojice diofantických rovníc. Riešenie existuje vtedy ak AF a B sú nesúdeliteľné. Regulátor Cc = Yc=(FXc) je daný riešením dvojice diofantických rovníc

    φB*Df - AFV* = D*cYc

    ψA*F*Df - BV* = D*cXc

    Ak sú polynómy AF a B nesúdeliteľné, potom dvojica diofantických rovníc je redukovaná do diofantickej rovnice

    AFXc + By = DcDf

    Nekonvenčné LQ sledovanie pre 2 DoF

    Definujme stabilné polynómy Dc a Df získané zo spektrálnych faktorizácií

    D*cDc = φA*F*AF + ψB*B

    D*fDf = A*H*AH

    D*rDr = H*H

    potom stabilita a riešenie deterministickej LQ úlohy je dané polynómami regulátora Yc, Xc vypočítanými z dvojice diofantických rovníc. Riešenie existuje vtedy ak AF a B sú nesúdeliteľné. Regulátor Cc = Yc=(FXc) je daný riešením dvojice diofantických rovníc

    φB*Df - AFV* = D*cYc

    ψA*F*Df - BV* = D*cXc

    Ak sú polynómy AF a B nesúdeliteľné, potom dvojica diofantických rovníc je redukovaná do diofantickej rovnice

    AFXc + By = DcDf

    FW + BR = DcDr

    Výhodou LQ regulátorov je skutočnosť, že regulačné pochody sú optimálne. Toto však z matematického hľadiska platí iba v prípade
  • zvoleného kritéria,
  • ak objekt a model sú zhodné a lineárne.
  • 4 Schémy

    5 Príklady

    1 DoF

    Po otvorení súboru formular.html nájdeme formulár na zadávanie parametrov. Zadávame od vrchu dĺžku simulácie, počiatočný čas žiadanej veličiny, konečná veľkosť žiadanej veličiny, čas, v ktorom sa objaví porucha, veľkosť tejto poruchy, čitateľa a menovateľa prenosu nášho spätnoväzbového modelu a váhové keoficienty.

    Ako je z obrázku vidieť dĺžka simulácie je 500 s, počiatočný čas žiadanej veličiny 0 s, konečná veľkosť žiadanej veličiny 5, čas, v ktorom sa objaví porucha 50 s, veľkosť tejto poruchy 1, čitateľa a menovateľa prenosu nášho spätnoväzbového modelu a váhové keoficienty. Výsledok po odoslaní je

    Druhý krát som si zvolil dĺžku simulácie 500 s, počiatočný čas žiadanej veličiny 0 s, konečná veľkosť žiadanej veličiny 6, čas, v ktorom sa objaví porucha 50 s, veľkosť tejto poruchy 0.5, iný čitateľ a menovateľ prenosu nášho spätnoväzbového modelu i iné váhové keoficienty

    a výsledok je

    2 DoF

    Pre 2 DoF obvod sú priebehy odlišné.

    Ako je z obrázku vidieť dĺžka simulácie je 500 s, počiatočný čas žiadanej veličiny 0 s, konečná veľkosť žiadanej veličiny 5, čas, v ktorom sa objaví porucha 50 s, veľkosť tejto poruchy 1, čitateľa a menovateľa prenosu nášho spätnoväzbového modelu a váhové keoficienty. Výsledok po odoslaní je

    Druhý krát som si zvolil dĺžku simulácie 500 s, počiatočný čas žiadanej veličiny 0 s, konečná veľkosť žiadanej veličiny 6, čas, v ktorom sa objaví porucha 50 s, veľkosť tejto poruchy 0.5, iný čitateľ a menovateľ prenosu nášho spätnoväzbového modelu i iné váhové keoficienty

    a výsledok je

    Simulácia

     
    • čas simulácie:      s
     
    • čas žiadanej hodnoty:      s
     
    • velkosť žiadanej hodnoty:      
     
    • čas poruchy:      s
     
    • velkosť poruchy:      
     
    • čitateľ prenosu:      
     
    • menovateľ prenosu:      
     
    • φ:      
     
    • ψ: