5. Matice a vektory

V názve matice, ktorý môže obsahovať až 31 znakov, sú povolené iba nasledujúce znaky:

písmená anglickej abecedy (a-z, A-Z)
číslice (0-9)
podtrhovník (_)

Názov nesmie začínať číslicou.

5.1. Zápis matice

Maticu rozmeru mxn vytvárame pomocou hranatých zátvoriek, v ktorých uvádzame jednotlivé riadky oddelené bodkočiarkou, pričom prvky každého riadku (stĺpce) oddeľujeme medzerou alebo čiarkou (môžme ich použiť aj naraz). V každom riadku musí byť rovnaký počet prvkov (stĺpcov)!

5.1.1. Spôsoby zadávania matice

Rôzne spôsoby zadávania matice si ukážeme na príkladoch. Majme maticu

Príklad 5.1: Zápis medzera, bodkočiarka

>> A = [1 2 3;4 5 6;7 8 9]
A =
     1  2  3
     4  5  6
     7  8  9

Príklad 5.2: Zápis čiarka, bodkočiarka

>> A = [1,2,3;4,5,6;7,8,9]
A =
     1  2  3
     4  5  6
     7  8  9

Príklad 5.3: Zápis čiarka, enter

>> A = [1,2,3
     4,5,6
     7,8,9]
A =
     1  2  3
     4  5  6
     7  8  9

Príklad 5.4: Kombinácia

>> A = [1 2 3;4,5,6
     7 8 9]
A =
     1  2  3
     4  5  6
     7  8  9

Príklad 5.5: Zmena hodnoty prvku matice

>> A(1,2) = 0
A =
     1  0  3
     4  5  6
     7  8  9

Príklad 5.6: Definovanie matice "pozíciou prvkov"

>> B(1,2) = 3  % B(riadok, stĺpec) = hodnota
B =
     0  3

>> B(3,3) = 4
B =
     0  3  0
     0  0  0
     0  0  4

>> B(2,2:3) = [1 2]
B =
     0  3  0
     0  1  2
     0  0  4

top

5.2. Manipulácia s maticami

5.2.1. Výber prvkov a nejakej časti matice

Rôzne spôsoby manipulácie matice si opäť ukážeme na príkladoch. Majme maticu

Príklad 5.7: Výber prvku matice

>> B = A(2,2)
B =
     5

>> A(1,3)
ans =
     3

Príklad 5.8: Výber riadku, stĺpca

>> B = A(2,:) % Výraz : znamená všetky stĺpce
B = 
     4  5  6
>> A(:,3)     % Výraz : znamená všetky riadky
ans =
     3 
     6
     9

Príklad 5.9: Výber časti matice

>> B = A(2:3,1:2) % Výraz n:m znamená
B =               % n-tý riadok (stĺpec) až m-tý riadok (stĺpec)
     4  5
     7  8
	 
>> A(1,1:2)
ans = 
     1 2

Príklad 5.10:

>> a = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3]
a =
      1  2  3  4  5  6  7  8  9  0  1  2  3
	  
>> a(1:end)     % Výraz end posledný prvok (index)
ans = 
      1  2  3  4  5  6  7  8  9  0  1  2  3
	  
>> a(4:end-2)
ans = 
      4  5  6  7  8  9  0  1

5.2.2. Funkcie pre manipuláciu s maticami

Medzi užitočné funkcie patria tiež tie, ktoré manipulujú s maticami/vektormi. Môžu nám uľahčiť prácu so zadávaním matíc/vektorov.

Funkcia	Opis
diag	vytvorenie a vybratie diagonály matice
fliplr	výmena stĺpcov matice zľava-doprava
flipud	výmena riadkov matice zhora-nadol
rot90	rotácia matice o 90 stupňov
size	rozmery matice
tril	vybratie dolnej triangulárnej matice
triu	vybratie hornej triangulárnej matice
:	index v matici

Použitie funkcií pre manipuláciu s maticami, ktoré sú uvedené v tabuľke, si opäť ukážeme na príkladoch. Majme maticu a vektor

Príklad 5.11: Výber hlavnej diagonály matice

>> d = diag(A)
d =
     1
     5
     9

Príklad 5.12: Výber subdiagonály pod hlavnou diagonálou matice

>> d = diag(A,-1)
d =
     4
     8

Príklad 5.13: Výber subdiagonály nad hlavnou diagonálou matice

>> d = diag(A,1)
d =
     2
     6
	 
>> d = diag(A,2)
d =
     3

Príklad 5.14: Vytvorenie diagonálnej matice

>> D = diag(b)
D =

     1  0  0  0  0
     0  2  0  0  0
     0  0  3  0  0
     0  0  0  4  0
     0  0  0  0  5

Príklad 5.15: Zámena stĺpcov

>> B = fliplr(A)
B =
     3     2     1
     6     5     4
     9     8     7

Príklad 5.16: Zámena riadkov

>> B = flipud(A)
B =
     7     8     9
     4     5     6
     1     2     3

Príklad 5.17: Rozmer matice

>> size(A)
ans =
     3     3

>> [riadky, stlpce] = size(A)
riadky =
     3
stlpce =
     3

Príklad 5.18: Rotácia matice

>> B = rot90(A)    % Rotácia matice o 90º
B =
     3     6     9
     2     5     8
     1     4     7

Príklad 5.19: Vytvorenie dolnej trojuholníkovej matice

>> B = tril(A)
B =
     1     0     0
     4     5     0
     7     8     9

>> B = tril(A,-1)
B =
     0     0     0
     4     0     0
     7     8     0

Príklad 5.20: Vytvorenie hornej trojuholníkovej matice

>> B = triu(A)
B =
     1     2     3
     0     5     6
     0     0     9

>> B = triu(A,1)
B =
     0     2     3
     0     0     6
     0     0     0

top

5.3. Maticové operácie

Všetky premenné sú v MATLABe chápané ako matice. S tým súvisí aj správanie sa operátorov.

Názov	Syntax	Opis
sčítanie	a1+a2	vykonáva sa po prvkoch argumety musia mať rovnaké rozmery alebo aspoň jeden z nich je skalár prvky výsledku sú súčtom/rozdielom odpovedajúcich si prvkov a1 a a2 (skalár je automaticky doplnený na rozmer druhého argumentu)
odčítanie	a1-a2
násobenie matíc	a1*a2	jedná sa o algebraické násobenie matíc, a preto počet stĺpcov a1 musí byť rovnaký ako počet riadkov a2 (t.j. mxp a pxn). Potom výsledok C=A*B má rozmer mxn a každý jeho prvok je
umocnenie matice	a1^a2	pokiaľ sú oba argumenty skaláry, ide o a2-tú mocninu čísla a1 pokiaľ je a1 matica a a2 kladné celé číslo (skalár), platí: a1^a2 = a1a1...*a1 (násobenie matíc!), teda a1 musí byť štvorcová matica
delenie matíc	a1/a2	zhruba platí, že A/B = A*inv(B), teda druhým argumentom by mala byť regulárna matica (skalár) odpovedajúceho rozmeru. Presne je A/B=(B'\A')' druhým argumentom muže byť aj skalár
delenie matíc zľava	a1\a2	pokiaľ je prvým argumentom štvorcová matica, potom je výsledok A\B rovnaký ako inv(A)*B ak je argumentom štvorcová matica A a stĺpcový vektor b, potom sa operátor používa pre riešenie sústav lineárnych rovníc, kde riešenie je x=A\b (pri výpočte sa používa Gaussova eliminácia)
transpozícia a konjugovanosť	a1'	výsledkom je transponovaná matica, pričom všetky komplexné čísla zmenia znamienko imaginárnej časti (na opačné) pri reálných maticiach funguje rovnako ako .'

5.3.1. Príklady pre základné maticové operácie

Príklad 5.21: Súčet matíc

>> C = [1 2;7 8];
>> D = [3 -5;-1 4];
>> C+D
ans =
     4    -3
     6    12

>> 3+D
ans =
     6    -2
     2     7

Príklad 5.22: Rozdiel matíc

>> C-D
ans =
    -2     7
     8     4
	 
>> D-2
     1    -7
    -3     2

Príklad 5.23: Násobenie matíc

>> b = [2;6];
>> C*D
ans =
     1     3
    13    -3

>> C*b   % Rozmery: 2x2 x 2x1 » 2x1
ans =
    14
    62

>> D*2
ans =
     6   -10
    -2     8

Príklad 5.24: Delenie matíc

>> A = [1 2;7 8];
>> B = [3 -5;-1 4];
>> x = B/A
x =
   -9.8333    1.8333
    6.0000   -1.0000

Príklad 5.25: Ľavé delenie matíc

>> x = A\B
x =
   -4.3333    8.0000
    3.6667   -6.5000

Príklad 5.26: Transpozícia matice

>> C'
ans =
     1     7
     2     8

Príklad 5.27: Umocnenie matice

C^2
ans =
    15    18
    63    78
% Rovnaký výsledok dosiahneme aj výrazom
C*C
ans =
    15    18
    63    78

5.3.2. Operácie po prvkoch v maticových zápisoch

Názov	Syntax	Opis
sčítanie	a1+a2
odčítanie	a1-a2
násobenie po prvkoch	a1.*a2
umocnenie po prvkoch	a1.^a2
delenie po prvkoch	a1./a2
delenie po prvkoch zľava	a1.\a2

Príklad 5.28: Násobenie matice po prvkoch

>> C.*D
ans =
     3   -10
    -7    32

Príklad 5.29: Delenie matice po prvkoch

>> C./D
ans =
    0.3333   -0.4000
   -7.0000    2.0000

Príklad 5.30: Umocnenie matíc po prvkoch

>> C.^2
ans =
     1     4
    49    64

>> C.*C
ans =
     1     4
    49    64

5.3.3. Riešenie sústavy lineárnych rovníc

Sústavu rovníc Ax = b riešime pomocou operátora \ alebo pomocou inverznej matice (funkcie inv). V každom prípade je potreba najskôr overiť rešiteľnosť sústavy, napríklad pomocou výpočtu determinantu (funkcie det):

Príklad 5.31: Funkcia sustava.m

function x = sustava(A,b)
% SUSTAVA - riesenie sustavy linearnych rovnic 
% A ... matice sustavy
% b ... vektor pravych stran
% x ... riesenie sustavy
if det(A) == 0
   error('Sustava nema riesenie!')
end
x = A\b; % vypocet riesenia alebo x=inv(A)*b;

Príklad 5.32: Spustenie funkcie a overenie výsledku

>> M=[3 2 -1; 1 0 1; 2 1 -1];   % zadanie sustavy v maticovem tvare
>> v=[5;4;2]; 
>> riesenie = sustava(M,v)      % spustenie funkcie
riesenie =
    1.5000
    1.5000
    2.5000

>> M*riesenie                   % overenie spravnosti riesenia
ans =
     5
     4
     2

5.3.4. Operácie v cykle

Ak je potrebné vektor naplniť prvkami, ktoré sú od seba rovnako "vzdialené", je možné to urobiť pomocou "dvojbodkového priradenia", x = [xzac:dx:xkon] kde xzac je začiatočná hodnota, dx je inkrement a xkon je konečná hodnota.

Príklad 5.33:

% Vytvorenie vektora s prvkami od 0 po 3 delením 0.5
x = [0:0.5:3]
x =
    0    0.5    1    1.5    2    2.5    3

% Vytvorenie vektora s prvkami od 10 po 15 delením 1
y = 10:15
y =
    10    11    12    13    14    15

top

5.4. Špeciálne matice

Medzi užitočné funkcie patria tiež tie, ktoré vytvárajú matice/vektory. Môžu nám uľahčiť prácu so zadávaním matíc/vektorov. Tieto funkcie majú väčšinou dva vstupné parametre: [matica] = nazov_funkcie(m,n), ale pokiaľ chceme získať štvorcovú maticu (typu mxm), stačí zadať iba jeden vstup. Prehľad týchto funkcií zobrazí príkaz help elmat.

funkcia	Opis
eye	jednotková diagonálna matica
zeros	nulová matica
ones	matica zložená z jednotiek
rand	matica náhodných čísel z intervalu (0,1)
randn	matica náhodných čísel
linspace	vektor hodnôt s lineárnym delením
logspace	vektor hodnôt s logaritmickým delením
magic	magická štvorcová matica
meshgrid	X a Y súradnice pre 3-D zobrazenie

Príklad 5.34: Vytvorenie diagonálnej (jednotkovej) matice

>> C = eye(3)  % alebo C = eye(3,3)
C =
     1     0     0
     0     1     0
     0     0     1

Príklad 5.35: Vytvorenie nulovej matice

>> C = zeros(2,3)
C =
     0     0     0
     0     0     0

Príklad 5.36: Vytvorenie matice iba s jednotkami

>> C = ones(3,2)
C =
     1     1
     1     1
     1     1

Príklad 5.37: Vytvorenie matice s náhodnými prvkami z intervalu (0,1)

>> rand(2,3)
ans =
    0.4447    0.7919    0.7382
    0.6154    0.9218    0.1763

Príklad 5.38: Vytvorenie matice s náhodnými prvkami

>> randn(2,3)
ans =
   -0.5883   -0.1364    1.0668
    2.1832    0.1139    0.0593

Príklad 5.39: Vytvorenie vektora hodnôt s lineárnym delením

>> linspace(1,3)     % 100 bodov v intervale <1,3>
ans =
  Columns 1 through 7 
    1.0000    1.0202    1.0404    1.0606    1.0808    1.1010    1.1212
  Columns 8 through 14 
    1.1414    1.1616    1.1818    1.2020    1.2222    1.2424    1.2626
...

  Columns 99 through 100 
    2.9798    3.0000

>> linspace(1,3,10)  % 10 bodov v intervale <1,3>
ans =
  Columns 1 through 7 
    1.0000    1.2222    1.4444    1.6667    1.8889    2.1111    2.3333
  Columns 8 through 10 
    2.5556    2.7778    3.0000

Príklad 5.40: Vytvorenie vektora hodnôt s logaritmickým delením

>> logspace(1,3)
ans =
  1.0e+003 *
  Columns 1 through 7 
    0.0100    0.0110    0.0121    0.0133    0.0146    0.0160    0.0176
  Columns 8 through 14 
    0.0193    0.0212    0.0233    0.0256    0.0281    0.0309    0.0339

...

  Columns 99 through 100 
    2.9798    3.0000

>> linspace(1,3,10)  % 10 bodov v intervale <1,3>
ans =
  1.0e+003 *
  Columns 1 through 7 
    0.0100    0.0167    0.0278    0.0464    0.0774    0.1292    0.2154
  Columns 8 through 10 
    0.3594    0.5995    1.0000

Príklad 5.41: Vytvorenie magickej matice

% Magicka matica: sucet kazdeho riadka a stlpca a diagonály je rovnaky
>> magic(4)   % magic(n) - musi platit n >= 3
ans =
    16     2     3    13
     5    11    10     8
     9     7     6    12
     4    14    15     1

Príklad 5.42: Vytvorenie X a Y súradníc pre 3-D zobrazenie

>> [X,Y] = meshgrid(-2:.2:2, -2:.2:2);
>> size(X)
ans =
    21    21
>> size(Y)
ans =
    21    21
>> length(-2:.2:2)
ans =
    21

Príklad 5.43: Vytvorenie stavovej matice systému, ktorého charakteristický polynóm je s⁴+8s³+5s²+3s+1

Asys = [zeros(3,1), eye(3); -1,-3,-5,-8]
Asys =
     0     1     0     0
     0     0     1     0
     0     0     0     1
    -1    -3    -5    -8

top

5.5. Úlohy

Vytvorte ľubovoľnú maticu A o rozmere 3x3, vyskúšajte si rôzne spôsoby zápisu
S maticou A urobte nasledovné úkony:
- vyberte prvok prvého riadku a druhého stĺpca
- vyberte prvky druhého riadku a druhého až tretieho stĺpca
- vyberte prvky prvého riadku
- vyberte prvky tretieho stĺpca
- vyberte hlavnú diagonálu
- zistite rozmery matice
- rotujte maticu o 90 stupňov
Vytvorte dve matice rovnakých rozmerov a skúste urobiť ich súčet a rozdiel
Vytvorte si štvorcovú maticu, urobte jej transpozíciu a umocnite na druhú
Vytvorte si dve štvorcové matice a vynásobte ich
Operácie umocnenia a násobenia vyskúšajte aj po prvkoch
Riešte sústavu rovníc
2x₁ + 5x₂ + 3x₃ = 1
4x₁ + 6x₂ + 2x₃ = 5
x₁ - 5x₂ + 3x₃ = 3
Vytvorte vektor s hodnotami od 10 do 30 s delením 3
Vytvorte si nasledovné špecialne matice:
- jednotkovú diagonálnu maticu rozmerov 3x3
- nulovú maticu rozmerov 2x3
- maticu náhodných čísel roznerov 5x3

top