7. Matice a lineárna algebra

Základné vlastnosti maticových funkcií sú:

vstupom je väčšinou algebraická matica, niekedy vektor
funkcie sú aplikované na celú maticu
výsledkom je skalár, vektor alebo matica (podľa pravidiel lineárnej algebry)

Prehľad týchto funkcií zobrazí príkaz help matfun.

7.1. Príkazy na analýzu vlastnosti matíc

Funkcia	Opis
det	determinant matice
null	nulové zobrazenie matice
orth	ortogonalizacia matice
rank	počet lineárne nezávislých riadkov
trace	suma diagonálnych prvkov matice

7.1.1. Determinant a operácie s prvkami matice

Príklad 7.1: Výpočet determinantu

>> A = [4 -2 1;-1 5 6;2 0 5];
det(A)
ans =
     56

Príklad 7.2: Súčet diagonálnych prvkov

>> B = [1 0 2;2 3 4;4 6 8];
trace(B)
ans =
     12

Príklad 7.3: Počet lineárne nezávislých riadkov matice

>> rank(B)
ans =
     2

7.1.2. Nulové zobrazenie a ortogonalizácia matice

Príkazom null(A) je možné získať takú maticu Q, pre ktorú platí:

Súčin transponovanej a matice Q sa rovná jednotkovej matici, Q'*Q=I
Súčin matíc A a Q je rovný nulovej matici A*Q=0

Ak taká matica Q neexistuje, funkcia vráti [].

Pod pojmom ortogonalizácia matice A t.j. použitím príkazu orth(A) rozumieme získanie takej matice Q, pre ktorú platí:

Súčin matíc Q' a Q sa rovná jednotkovej matici, Q'*Q=I
Stĺpce sa menia v tom istom intervale ako stĺpce matice A
Počet stĺpcov je daný počtom nezávislých riadkov matice A

Príklad 7.4: Nulové zobrazenie - existuje matica Q

>> A = [1 -2;-3 6];
>> Q = null(A)
Q  =
    0.8944
    0.4472
% Spätná kontrola
>> Q'*Q
ans =
    1.0000
>> A*Q
ans =
     0
     0

Príklad 7.5: Nulové zobrazenie - neexistuje matica Q

>> B = [1 2;3 5];
>> Q = null(B)
Q  =
   Empty matrix: 2-by-0

Príklad 7.6: Ortogonalizácia matice - riadky matice sú nezávislé

>> A = [1 2 -3;3 5 2;4 6 1];
>> Q = orth(A)
Q =
   -0.1806    0.9505   -0.2527
   -0.6298   -0.3091   -0.7126
   -0.7555    0.0305    0.6545
% Spätná kontrola
>> Q'*Q
ans =
    1.0000    0.0000    0.0000
    0.0000    1.0000    0.0000
    0.0000    0.0000    1.0000

Príklad 7.7: Ortogonalizácia matice - riadky matice sú závislé

>> B = [4 2 -3;1 -2 2;2 -4 4];
>> Q = orth(B)
Q =
    0.4939    0.8695
   -0.3889    0.2209
   -0.7777    0.4417
% Spätná kontrola
>> Q'*Q
ans =
    1.0000    0.0000
    0.0000    1.0000

top

7.2. Príkazy pre riešenie sústavy lineárnych rovníc

Na riešenie soustavy lineárnych rovníc, ktorá je prevedená do maticového tvaru (Ax = b), môžeme použiť okrem operátora \ aj inverznú maticu.

Príkaz	Opis
inv	inverzná matica
pinv	pseudoinverzná matica

Príkaz Y = pinv(A) vracia maticu, pre ktorú platí:

je rozmerov ako A'
A*Y*A=A; Y*A*Y=Y
Y, A*Y a Y*A sú Hemiltovské matice

Príklad 7.8: Inverzná matica

>> A = [1 5 2;4 -2 1;-3 3 2];
>> B = inv(A)
B =
    0.1400    0.0800   -0.1800
    0.2200   -0.1600   -0.1400
   -0.1200    0.3600    0.4400
% Spätná kontrola
>> A*B
ans =
    1.0000    0.0000         0
   -0.0000    1.0000    0.0000
    0.0000   -0.0000    1.0000

Príklad 7.9: Pseudoinverzná matica

>> C = [1 0 -0.04;0 1 0.2];
>> B = pinv(C)
B =
    0.9985    0.0077
    0.0077    0.9616
   -0.0384    0.1920
% Spätná kontrola 
>> C*B*C
ans =
    1.0000    0.0000   -0.0400
    0.0000    1.0000    0.2000
>> B*C*B
ans =
    0.9985    0.0077
    0.0077    0.9616
   -0.0384    0.1920
>> C*B
ans =
    1.0000    0.0000
    0.0000    1.0000

Príklad 7.10: Maticová rovnica Ax = b

>> A = [5 8 9; 1 -2 3;2 -5 3];
>> b = [48;6;1];
>> x = inv(A)*b
x =
    1.0000
    2.0000
    3.0000

top

7.3. Rozklady matice na vlastné a singulárne hodnoty

Príkaz	Opis
eig	rozklad matice na vlastné hodnoty a vlastné vektory
svd	singulárny rozklad

Príklad 7.11: Rozklad matice na vlastné hodnoty

>> A = [1 5 2;4 -2 1;-3 3 2];
>> eig(A)
ans =
  -5.0766          
   3.0383 + 0.7859i
   3.0383 - 0.7859i

Príklad 7.12: Rozklad matice na vlastné hodnoty a vlastné vektory

>> [vektor, hodnota] = eig(A)
vektor =
   0.4445   0.6998             0.6998          
  -0.7414   0.4647 - 0.0120i   0.4647 + 0.0120i
   0.5027   -0.4485 + 0.3049i  -0.4485 - 0.3049i

hodnota =
  -5.0766        0                  0          
        0   3.0383 + 0.7859i        0          
        0        0             3.0383 - 0.7859i

7.3.1. Singulárny rozklad matice

Na singulárne hodnoty je možné rozložiť maticu A pomocou príkazu [U,S,V] = svd(A), kde S je diagonálna matica a U, V sú také matice, aby bol splnený vzťah U*S*V' = A.

Príklad 7.13: Celý rozklad

>> A = [1 5 2;4 -2 1;-3 3 2];
>> [U,S,V] = svd(A)
U =
    0.6265    0.6963   -0.3503
   -0.4509    0.6904    0.5657
    0.6357   -0.1965    0.7465

S =
    7.0082         0         0
         0    4.6389         0
         0         0    1.5380

V =
   -0.4401    0.8724   -0.2125
    0.8478    0.3258   -0.4185
    0.2959    0.3643    0.8830
% Spätná kontrola 
>> U*S*V'
ans =
    1.0000    5.0000    2.0000
    4.0000   -2.0000    1.0000
   -3.0000    3.0000    2.0000

Príklad 7.14: Výpis iba prvkov diagonály matice

>> svd(A)
ans =
    7.0082
    4.6389
    1.5380

top

7.4. Úlohy

Vyvorte maticu C = [2 5 -3;-1 4 7;5 4 8] a zistite:
- determinant matice
- súčet diagonálnych prvkov
- inverznú maticu
- počet nezávislých riadkov matice
Vyvorte maticu B = [2 8 1;1 4 7;5 2 6] a určte ortogonalizáciu matice
Urobte singulárny rozklad matice D = [5 -1 3;2 7 6;-2 0 5]

top